Будущая звезда Сербии и России родилась в Белграде. Родители юного Милоша к актерской профессии отношения не имели; более того, отец эмигрировал в Германию, когда Биковичу было всего шесть месяцев, так что его маме, учителю-дефектологу, пришлось одной воспитывать двоих детей — у Милоша есть старший брат Михайло. Впрочем, любовь к искусству, музыке, живописи в семье всегда была в почете, поэтому Милош часто бывал в театре и кино, а в тринадцать лет пошел в театральную студию. Артистичного мальчика сразу заметили, он начал работу в детской передаче на телевидении и даже снялся в комедийном сериале. Правда, в то непростое время многим было не до искусства: страну охватывали политические и этнические конфликты. Когда Милошу было одиннадцать, к примеру, Белград подвергся бомбардировкам, и будущий актер прятался в бомбоубежище.
К счастью, вскоре война прекратилась. Уже после школы Милош поступил в Белградский университет искусств на театральный факультет. Карьера его развивалась стремительно: на третьем курсе он сыграл главную роль в фильме, который позднее был номинирован на «Оскар». Так что Милоша окрестили восходящей звездой кинематографа, а в 2014-м ему поступил звонок от помощника Никиты Михалкова с предложением роли в фильме «Солнечный удар». С этого момента у Биковича началась карьера и в российском кино.
В силу специфики профессии Милоша окружало огромное количество самых красивых девушек, но связывать себя узами брака с кем-либо Бикович не торопился. Еще в студенческие годы будущая звезда встречалась с дочерью известной сербской актрисы Весны Чипчич. Впрочем, эти отношения закончились до того, как Милош закончил университет. Молодые люди расстались хорошими друзьями и вполне успешно вместе сыграли в дипломном спектакле.
Позже Биковичу приписывали роман с сербской актрисой Бранкицей Себастьянович. Коллеги познакомились на съемках фильма «Когда цветут тыквы» и, по разным слухам, встречались целых четыре года. Еще одним обсуждаемым романом стали отношения с моделью Сашей Луцц, которую окрестили музой культового дизайнера Карла Лагерфельда. Фотографии с активного отдыха влюбленных практически мгновенно попали в Сеть, так что скрывать эти отношения смысла не было. Возможно, многие думали, что вот теперь дело движется к свадьбе, но поклонников постигло разочарование: в 2016 году они расстались.
Вскоре Милош встретил любовь уже на российских просторах. И встреча с девушкой, которая стала его возлюбленной, снова случилась на съемочной площадке, только уже российского фильма. Милош играл в фильме «Лед», где его партнершей была молодая актриса Аглая Тарасова. Между коллегами вспыхнули нежные чувства, о чем вскоре узнали и журналисты. Этот роман стал очень громким: его обсуждали в Интернете, на страницах светской прессы. Пара появлялась вместе на светских вечеринках, влюбленные нашли общее жилье, и Милош даже познакомился с мамой Аглаи, популярной актрисой Ксенией Раппопорт. Но неожиданно для всех отношения закончились. Причем Аглая сообщила об этом открыто в своем Инстаграме.
«Это случилось из-за бешеных графиков и постоянных разъездов. Мы старались проводить вместе каждую свободную минуту, но сложилось так, что этих минут стало не хватать. Мы продолжаем относиться друг к другу с большой любовью и уважением», — призналась Тарасова.
Впрочем, актер недолго был один. В 2018 году стало известно, что он встречается с сербской моделью Барбарой Таталович, с которой познакомился на съемках фильма «Отель 'Белград». Правда, поговаривают, что в прошлом году пара рассталась. Новый год Милош встретил с мамой, которая была крайне обрадована успехом фильма «Холоп» и шутила, что семь с половиной миллионов человек, которые сходили в кино, пришли посмотреть на ее любимого мальчика.
Конечно, у многих поклонников возникает вопрос, что же мешает Милошу довести роман до официального брака, тем более что его девушки все как на подбор. Впрочем, сам актер признается, что всему виной его загруженность. В интервью Милош как-то сказал, что только недавно понял, в какую ловушку попал и как страдает его личная жизнь от бесконечных съемок и перелетов. В то же время актер не хочет отказываться от возможности максимально реализовать себя в кинематографе и недавно даже открыл свою продюсерскую фирму. И многие поклонницы Милоша совсем не против того, что их кумир по-прежнему свободен.